Generating Random Numbers/de: what changed

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Title: Generating Random Numbers/de

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1	+	![](/wiki-images/8/84/Fpc_source_logo.png) Zufallszahlen sind wichtige Quellen für wissenschaftliche Anwendungen, Bildung, Visualisierung und die Entwicklung von Spielen. Sie nehmen eine Schlüsselrolle in der Computersimulation ein.
2	+
3	+	Algorithmisch erzeugte Zufallszahlen sind eigentlich Pseudozufallszahlen. Sie gehören zu einer (großen) Menge sich wiederholender Zahlen, deren Reihenfolge schwer und praktisch unmöglich vorhergesagt werden kann. Im Gegensatz zu Delphi verwendet Free Pascal einen MersenneTwister-Algorithmus für seine Standard-[[doc:rtl/system/random.html\|random]]-Funktion der [[RTL/de\|RTL]]. Vor der ersten Benutzung muss der Zufallszahlengenerator mit einem einmaligen Aufruf der Funktion [[doc:rtl/system/randomize.html\|randomize]] initialisiert werden. Dies setzt den "Seed"-Werte des Generators. Vorzugsweise wird `randomize` zu Beginn der Programmausführung aufgerufen.
4	+
5	+	Alternativ stehen auf Unix- und Linux-basierten Systemen die virtuellen Geräte [[Dev random\|/dev/random]] und `/dev/urandom` zur Verfügung. Sie erzeugen Zufallszahlen auf Hardware-Basis.
6	+
7	+	Eine dritte Möglichkeit besteht darin, Zufallszahlen aus externen Quellen zu verwenden, entweder von spezialisierter Hardware oder von öffentlichen Quellen, z. B. auf der Basis radioaktiver Zerfallsdaten.
8	+
9	+	## Gleichverteilung
10	+
11	+	Die stetige Gleichverteilung (auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung) stellt eine Familie symmetrischer Wahrscheinlichkeitsverteilungen dar. Innerhalb eines definierten Intervalls hat sie eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte.
12	+
13	+	Die Standardfunktion [[doc:rtl/system/random.html\|random]] der [[RTL/de\|RTL]] erzeugt Zufallszahlen, die eine Gleichverteilung zu erfüllen. Wenn sie ohne Parameter aufgerufen wird, dann liefert `random` Fließkomma-Zufallszahlen aus dem Intervall \[0, 1), d. h. 0 \<= Ergebnis \< 1. Wenn `random` dagegen mit einem longint-Argument L aufgerufen wird. liefert sie eine longint-Zufallszahl des Intervalls \[0, L).
14	+
15	+	Gleichverteilte Zufallszahlen sind nicht für jede Anwendung sinnvoll. Um Zufallszahlen mit einer anderen Verteilung zu erstellen, sind spezielle Algorithmen notwendig:
16	+
17	+	## Normalverteilung (Gaußsche Verteilung)
18	+
19	+	Unter den verschiedenen Algorithmen zur Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen ist das [Box-Müller-Verfahren](http://en.wikipedia.org/wiki/Box–Muller_transform) das effizienteste. Die folgende Funktion berechnet damit Gauß-verteilte Zufallszahlen:
20	+
21	+	``` pascal
22	+	function rnorm (mean, sd: real): real;
23	+	{Berechnet Gaußsche Zufallszahlen nach dem Box-Müller-Verfahren}
24	+	var
25	+	u1, u2: real;
26	+	begin
27	+	u1 := random;
28	+	u2 := random;
29	+	rnorm := mean * abs(1 + sqrt(-2 * (ln(u1))) * cos(2 * pi * u2) * sd);
30	+	end;
31	+	```
32	+
33	+	Der gleiche Algorithmus wird von der Funktion [[doc:rtl/math/randg.html\|randg]] aus der RTL unit [[doc:rtl/math/index.html\|math]] verwendet:
34	+
35	+	``` pascal
36	+	function randg(mean,stddev: float): float;
37	+	```
38	+
39	+	## Exponentialverteilung
40	+
41	+	Eine Exponentialverteilung tritt häufig bei praktischen Problemen auf. Ein klassisches Beispiel ist die Verteilung der Wartezeiten zwischen unabhängigen Poisson-Zufallsereignissen, wie z. B. der radioaktive Zerfall von Atomkernen \[Press et al. 1989\].
42	+
43	+	Die folgende Funktion liefert eine einzige Zufallszahl aus einer Exponentialverteilung. Der zu übergebende Wert `rate` ist der Kehrwert des Mittelwertes, und die Konstante `RESOLUTION` bestimmt die Granularität der erzeugten Zufallszahlen.
44	+
45	+	``` pascal
46	+	function randomExp(a, rate: real): real;
47	+	const
48	+	RESOLUTION = 1000;
49	+	var
50	+	unif: real;
51	+	begin
52	+	if rate = 0 then
53	+	randomExp := NaN
54	+	else
55	+	begin
56	+	repeat
57	+	unif := random(RESOLUTION) / RESOLUTION;
58	+	until unif <> 0;
59	+	randomExp := a - rate * ln(unif);
60	+	end;
61	+	end;
62	+	```
63	+
64	+	## Gamma-Verteilung
65	+
66	+	Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist eine Verallgemeinerung sowohl der Exponentialverteilung als auch der Erlang-Verteilung. Sie wird zum Beispiel in der Warteschlangentheorie und in der Versicherungsmathematik verwendet.
67	+
68	+	Die folgende Funktion liefert eine einzige echte Zufallszahl aus einer Gamma-Verteilung. Die Form der Verteilung wird durch die Parameter a, b und c definiert. Die Funktion nutzt die oben definierte Funktion randomExp.
69	+
70	+	``` pascal
71	+	function randomGamma(a, b, c: real): real;
72	+	const
73	+	RESOLUTION = 1000;
74	+	T = 4.5;
75	+	D = 1 + ln(T);
76	+	var
77	+	unif: real;
78	+	A2, B2, C2, Q, p, y: real;
79	+	p1, p2, v, w, z: real;
80	+	found: boolean;
81	+	begin
82	+	A2 := 1 / sqrt(2 * c - 1);
83	+	B2 := c - ln(4);
84	+	Q := c + 1 / A2;
85	+	C2 := 1 + c / exp(1);
86	+	found := False;
87	+	if c < 1 then
88	+	begin
89	+	repeat
90	+	repeat
91	+	unif := random(RESOLUTION) / RESOLUTION;
92	+	until unif > 0;
93	+	p := C2 * unif;
94	+	if p > 1 then
95	+	begin
96	+	repeat
97	+	unif := random(RESOLUTION) / RESOLUTION;
98	+	until unif > 0;
99	+	y := -ln((C2 - p) / c);
100	+	if unif <= power(y, c - 1) then
101	+	begin
102	+	randomGamma := a + b * y;
103	+	found := True;
104	+	end;
105	+	end
106	+	else
107	+	begin
108	+	y := power(p, 1 / c);
109	+	if unif <= exp(-y) then
110	+	begin
111	+	randomGamma := a + b * y;
112	+	found := True;
113	+	end;
114	+	end;
115	+	until found;
116	+	end
117	+	else if c = 1 then
118	+	{ Die Gamma-Verteilung wird zur Exponentialverteilung, if c = 1 }
119	+	begin
120	+	randomGamma := randomExp(a, b);
121	+	end
122	+	else
123	+	begin
124	+	repeat
125	+	repeat
126	+	p1 := random(RESOLUTION) / RESOLUTION;
127	+	until p1 > 0;
128	+	repeat
129	+	p2 := random(RESOLUTION) / RESOLUTION;
130	+	until p2 > 0;
131	+	v := A2 * ln(p1 / (1 - p1));
132	+	y := c * exp(v);
133	+	z := p1 * p1 * p2;
134	+	w := B2 + Q * v - y;
135	+	if (w + D - T * z >= 0) or (w >= ln(z)) then
136	+	begin
137	+	randomGamma := a + b * y;
138	+	found := True;
139	+	end;
140	+	until found;
141	+	end;
142	+	end;
143	+	```
144	+
145	+	## Erlang-Verteilung
146	+
147	+	Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und ein Spezialfall der Gamma-Verteilung. Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.
148	+
149	+	Die Erlang Verteilung wird für die Warteschlangentheorie und zur Simulation von Wartezeiten verwendet.
150	+
151	+	``` pascal
152	+	function randomErlang(mean: real; k: integer): real;
153	+	const
154	+	RESOLUTION = 1000;
155	+	var
156	+	i: integer;
157	+	unif, prod: real;
158	+	begin
159	+	if (mean <= 0) or (k < 1) then
160	+	randomErlang := NaN
161	+	else
162	+	begin
163	+	prod := 1;
164	+	for i := 1 to k do
165	+	begin
166	+	repeat
167	+	unif := random(RESOLUTION) / RESOLUTION;
168	+	until unif <> 0;
169	+	prod := prod * unif;
170	+	end;
171	+	randomErlang := -mean * ln(prod);
172	+	end;
173	+	end;
174	+	```
175	+
176	+	## Poisson-Verteilung
177	+
178	+	Die Poisson-Verteilung umfasst ganzzahlige Werte. Sie spiegelt die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge wieder, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs in jedem Versuch klein und die Auftretensrate (der Mittelwert) konstant ist.
179	+
180	+	``` pascal
181	+	function randomPoisson(mean: integer): integer;
182	+	{ Generator for Poisson distribution (Donald Knuth's algorithm) }
183	+	const
184	+	RESOLUTION = 1000;
185	+	var
186	+	k: integer;
187	+	b, l: real;
188	+	begin
189	+	assert(mean > 0, 'mean < 1');
190	+	k := 0;
191	+	b := 1;
192	+	l := exp(-mean);
193	+	while b > l do
194	+	begin
195	+	k := k + 1;
196	+	b := b * random(RESOLUTION) / RESOLUTION;
197	+	end;
198	+	randomPoisson := k - 1;
199	+	end;
200	+	```
201	+
202	+	## t-Verteilung
203	+
204	+	Die t-Verteilung wird auch Student-t-Verteilung bezeichnet, da sie von William Sealy Gosset 1908 unter dem Pseudonym Student veröffentlicht wurde. Die t-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ihre Form ist definiert durch einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade (df).
205	+
206	+	In der Statistik sind viele Schätzwerte t-verteilt. Die t-Verteilung spielt daher eine wichtige Rolle bei etlichen statistischen Analysen, beispielsweise für den t-Test zur Berechnung der statistischen Signifikanz des Unterschieds zwischen zwei empirischen Mittelwerten, die Konstruktion von Konfidenzintervallen für die Differenz zweier populationsbasierter Mittelwerte und in der linearen Regression. Die t-Verteilung kommt auch in der Bayesschen Analyse normalverteilter Daten vor.
207	+
208	+	Der folgende Algorithmus basiert auf der [[RTL/de\|RTL]] Funktion [[doc:rtl/system/random.html\|random]] und der Funktion randomChisq.
209	+
210	+	``` pascal
211	+	function randomT(df: integer): real;
212	+	{ Generator für die studentsche t-Verteilung }
213	+	begin
214	+	if df < 1 then randomT := NaN
215	+	else
216	+	begin
217	+	randomT := randg(0, 1) / sqrt(randomChisq(df) / df);
218	+	end;
219	+	end;
220	+	```
221	+
222	+	## Chi-Quadrat-Verteilung
223	+
224	+	Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist die Verteilung der Quadratsummen df unabhängiger standardnormalverteilter Variablen und hat daher df Freiheitsgrade. Die Chi-Quadrat-Verteilung wird vielfach in der schließenden Statistik verwendet, z. B. für die Schätzung von Varianzen und für Chi-Quadrat Tests. Sie besitzt eine spezielle Gammaverteilung mit c = df / 2 und b = 2. Daher ist die folgende Funktion abhängig von der Funktion randomGamma.
225	+
226	+	``` pascal
227	+	function randomChisq(df: integer): real;
228	+	begin
229	+	if df < 1 then randomChisq := NaN
230	+	else
231	+	randomChisq := randomGamma(0, 2, 0.5 * df);
232	+	end;
233	+	```
234	+
235	+	## F-Verteilung oder Fisher-Verteilung
236	+
237	+	Die F-Verteilung, die auch als Fisher-Snedecor Verteilung bezeichnet wird, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird für F-Tests und Varianzanalysne (ANOVA von englisch analysis of variance) verwendet. Die F-Verteilung verfügt über zwei Freiheitsgrade, die als Parameter v und w bezeichnet werden. Diese Parameter sind positive ganze Zahlen. Die folgende Funktion randomF verwendet die Funktion randomChisq.
238	+
239	+	``` pascal
240	+	function randomF(v, w: integer): real;
241	+	begin
242	+	if (v < 1) or (w < 1) then
243	+	randomF := NaN
244	+	else
245	+	randomF := randomChisq(v) / v / (randomChisq(w) / w);
246	+	end;
247	+	```
248	+
249	+	## Siehe auch
250	+
251	+	- [[Dev random/de\|Dev random]]
252	+	- [[Functions for descriptive statistics]]
253	+
254	+	## Literatur
255	+
256	+	1. [G. E. P. Box and Mervin E. Muller, A Note on the Generation of Random Normal Deviates, The Annals of Mathematical Statistics (1958), Vol. 29, No. 2 pp. 610–611](http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.aoms/1177706645)
257	+	2. Dietrich, J. W. (2002). [Der Hypophysen-Schilddrüsen-Regelkreis](http://openlibrary.org/books/OL24586469M/Der_Hypophysen-Schilddrüsen-Regelkreis). Berlin, Germany: Logos-Verlag Berlin. ISBN 978-3-89722-850-4. OCLC 50451543.
258	+	3. Press, W. H., B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling (1989). [Numerical Recipes in Pascal](http://openlibrary.org/works/OL16807779W/). The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, ISBN 0-521-37516-9.
259	+	4. Richard Saucier, [Computer Generation of Statistical Distributions](http://ftp.arl.mil/random/random.pdf), ARL-TR-2168, US Army Research Laboratory, Aberdeen Proving Ground, MD, 21005-5068, March 2000.
260	+	5. R.U. Seydel, Generating Random Numbers with Specified Distributions. In: Tools for Computational Finance, Universitext, [DOI 10.1007/978-1-4471-2993-6_2](http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4471-2993-6_2), © Springer-Verlag London Limited 2012
261	+	6. Christian Walck, Hand-book on STATISTICAL DISTRIBUTIONS for experimentalists, Internal Report SUF–PFY/96–01, University of Stockholm 2007
262	+
263	+	---
264	+	From the Free Pascal wiki, page "Generating Random Numbers/de", as it stood on 2020-08-09 after a change by Trev, out of the wiki's dump of 2024-05-26. Copyright stays with the author who wrote it, according to the old wiki's [[Licensing]] page. If you have concerns about this material, [message the admin](/wiki-contact).

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